21.2.14

Fractales en la naturaleza

Siempre he admirado los fractales en la naturaleza. Encabeza este post la imagen de un girasol, un rayo, la cola de un pavo real y un brócolí Romanescu. Este último, es un híbrido de brécol (Brassica oleracea var.italica) y coliflor (Brassica oleracea var. botrytis).  Una de sus más llamativas características es que tiene un patrón de espiral logarítmica. Este exquisito diseño es conocido como fractal, y el patrón representa el espiral dorado o Fibonacci. Una espiral de Fibonacci se aproxima a la espiral dorada, cuando se inscribe en cuadrados cuyos lados responden a la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34. Otro ejemplo es el Girasol. 
Según wikipedia, un fractal  es “un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas…. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.”  El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en  1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.
Probablemente, el primer objeto fractal puro en la historia, el polvo de Cantor, fue descrito por el matemático alemán Georg Cantor-inventor de la teoría de los conjuntos-alrededor de 1872. A pesar de ser una figura extremadamente sencilla, recoge todos los atributos discutidos sobre los fractales hasta el momento: presenta autosimilitud a cualquier escala y su dimensión es fraccionaria, producidos por procesos de iteración, con valor aproximado de 0,630929753571457437099527114 (log 2/log 3, triángulo de Sierpinski). 

Geometría fractal. Una definición para geometría fractal es que son los objetos matemáticos que conforman la Geometría de la Teoría del Caos.  Cada teoría matemática posee sus propias herramientas que la soportan y la describen. Las más comunes son la geometría euclidiana, el álgebra, o el mismo cálculo, este último en especial se da en la Física. La teoría del Caos no es la excepción a la regla, y se sustenta, entre otras cosas, sobre la Geometría Fractal. 

Dentro de la geometría fractal podemos distinguir dos tipos de fractales:

• Objetos construidos a partir de copias exactas (escaladas) de si mismos à fractales
regulares
• Objetos auto-semejantes, pero que no están construidos sólo a partir de copias exactas de
si mismos à fractales no regulares. Ejemplo: hojas, árboles.



Ejemplo fractales
.  
Los fractales están por todas partes, aunque no los reconozcamos como tales de primera instancia. Entre los fractales naturales tenemos las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos; se diferencian de sus contrapartes matemáticos por ser entidades finitas en vez de infinitas. Ejemplos adicionales de fractales no naturales, son el mercado de valores y el crecimiento poblacional.


Imágenes fractales tomadas de los siguientes links:




Fractales no naturales:



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